Artifice a Prirodzený Svet: Matematika, Logika, Technológia

Link: http://web.maths.unsw.edu.au/~jim/18c.html

James Franklin

Cambridge História Osemnásteho Storočia, Filozofia, kapitola 28

(Napíšte mi, [email protected] pre verziu s poznámky pod čiarou)

1. ÚVOD

Ak Tahiti navrhol, aby teoretici pohodlne doma, v Európe myšlienky šľachtických divosi bez oblečenia, tých, ktorí zaplatili a šli na plavbu, boli tam v snahe úplne opačný ľudského ideálu. Variť to plavby sledovať tranzit Venuše v roku 1769 symbolizuje osemnásteho storočia záväzok čísla a presnosti, a jeho ochota míňať veľa z verejných peňazí na ich získanie. Štátom podporované organizácie kvantitatívne výskumy, ktoré využívajú inšpektori a zber štatistických údajov na výpočet jeho silu.1 Ľudia dobrovoľne, aby sa stal viac numerate;2 aj tí, ktorí nemali mal numerické racionalita metrický systém, ktoré sa na nich kladú.3 Tam bol nárast o dva rády alebo tak v presnosti meracích prístrojov a známe hodnoty fyzikálnych konštánt.4 grafické zobrazenie kvantitatívne informácie, ktoré sa s väčšou ľahko dostupné a zrozumiteľné.5 Na výskum predné, matematika pokračovala v predstihu, aj keď najmä s menšou rýchlosťou ako v dvoch predchádzajúcich storočiach. Metódy výpočtov sa ukázala úspešnou vo viac a viac problémov v mechanike, oboch nebeských a suchozemské. Pružnosť a dynamika kvapalín stal matematicky tractable prvýkrát.6centrálnej limitné vety priniesol veľa šancu javy do kompetencie dôvodu.

Tieto úspechy sa ukázalo záujmu pre “low filozofia”, alebo filozofia-ako-propaganda, ako praktizujú prírodné teológovia a Encyclopédists. Obaja mali ich používa na vedeckých objavov, aj keď niekedy nie je veľký záujem, v detailoch. Pre “high filozofia”, čo predstavovalo veľké mená, matematike a prírodných vedách mal iný význam. Funkcia spoločné životopisy všetkých známych filozofov osemnásteho storočia je matematický mládež. Wolff bol prvý profesor matematiky, a to bolo v tejto téme, ktoré sa prvýkrát uskutočnili príspevkov k vedeckému slovnú zásobu a štýl nemecký, za ktoré je tak všeobecne neznášal. Kant učil matematiku, a jeho Cena Esej začína analýza matematická metóda. D’Alembert, Condorcet, Lambert, aj Diderot v menšej spôsobom (a samozrejme Leibniz skôr) vyrobené vážne matematické príspevky. Reid tiež učil matematiku, a jeho prvá publikovaná práca bola na množstvo. Paley bol Senior Wrangler v Cambridge Matematické Tripos. Berkeley Analytik je jedným z najúspešnejších zásahy niekedy tým, filozof, do matematiky. Hume a Vico, aj keď nie matematici, používa matematické príklady ako prvé ilustrácie ich teórií. Adam Smith ‘ s “neviditeľnou rukou” a Malthusa modelu populačného rastu obaja patria k tomu, čo sa teraz nazýva dynamické systémy teória.

Prirodzene, tieto filozofi si nie všetky nakresliť rovnaký hodín od ich matematické skúsenosti. Ale je tu aj niečo spoločného postoja, že filozofi majú k matematike, v tomto poslednom storočí pred prekvapenie non-Euklidovej geometrie narušilo pretensions matematiky na neomylnosti. To je závisť. Čo je envied, najmä, je “matematické metódy”, ktoré vraj vyrába to, čo filozofia chcela, mohla, ale boli schopní: niektoré pravdy, sa dohodli na všetkých, vydané čistá myšlienka.

2. “MATEMATICKÁ METÓDA” POCHVÁLIL

osemnásteho storočia bol posledný prijať, zásadne bez otázku, určité schválené názory starovekých národov, o spôsobe a obsahu matematiky. Nápady boli do veľkej miery Aristotelian v pôvodu, ale prežil zánik scholastika tým, že sú akceptované takmer v plnej miere Cartesians a Newton. Veľmi obdivoval “matematické metódy” je odvodené z pravdy syllogisms z evidentné, prvé princípy, metódy bolo veril byť konkretizovaný prostredníctvom Euclid Prvkov. Ako na obsah, matematika je veda o “množstve”, ktoré je “všetko, čo je schopné zvýšiť, alebo zmenšovanie”.7 Čísla vyplývajú z zobrať do úvahy pomer množstva na ľubovoľne zvolenej jednotky. Množstvo je z dvoch druhov, diskrétne (preštuduje aritmetický) a kontinuálne (študoval tým, geometria). Avšak, geometria je aj štúdium “rozšírenie”, alebo reálny priestor. Množstvo v abstraktu je skúmať čistá matematika, zatiaľ čo “veľkosť ako sa žije v hmotnej orgánov”8 je objekt, zmiešaných alebo aplikovaná matematika, ktorá zahŕňa optika, astronómia, mechaniky, navigácie a pod. Tendencie považovať matematiky ako o niektorých abstrakcie reality urobil existujú, ale sú zväčša bránil. Euler, napríklad hovorí, že v geometrii jeden nesúvisí s ideálnou alebo abstraktné trojuholník, ale s trojuholníky vo všeobecnosti, a že všeobecnosti v matematike je nič iné ako na všeobecnosti inde;\9 na ten istý účel, d’Alembert obhajuje približný teórie, pričom dokonalé kruhy geometrie nám umožňujú “prístup” pravda, “ak nie dôsledne, aspoň do určitej miery dostatočné pre naše použitie”.10

Existuje niekoľko filozofických problémov s týmto komplex názory, ktoré sú dostatočne zrejmé udržať povrch v takej alebo onakej forme znova a znova:

  • Prečo je matematické metódy nájsť v matematika?
  • Prečo sú prvé princípy v matematike je to potrebné, a ako sú známe?
  • Je uvažovanie u Euklida v skutočnosti všetky syllogisms? (v širšom zmysle, že je, forma: Všetky A sú B, Všetky B je C, takže Všetko, A C). Ak nie, aký druh úvahy ide?

a. Wolff.

Wolff aspoň mal odpovede na tieto otázky. Matematické metódy, myslí si, je použiteľná všade; a nie je problém o self-dôkaz z prvých princípov, pretože tam je len jedna z nich, a to je princíp non-rozpor. Geometrické demonštrácie môžu byť vyriešené do formálneho syllogisms, a objavy v matematike sú vyrobené výlučne syllogistic znamená.11 Jeho ústredné miesto v osemnástom storočí filozofie vyplýva z jeho pokus v skutočnosti vykonávajú odvodenie všetky filozofické pravdy z princípu non-rozpor, “matematické metódy”.12 pozrieť na to, ako vlastne navrhuje dokázať, že všetko, čo má dostatočný dôvod, iba pomocou princíp kontradikcie, odhaľuje, prečo Wolff je “metóda” dosiahli menej ako univerzálny zmluvy:

, Dajte nám predpokladajme, že sa bez dostatočného dôvodu, prečo je to skôr, než, nie je. Preto nič nie je vraj, podľa ktorého ho možno chápať, prečo je. Preto je prijatý, na základe predpokladanej nič; ale pretože je to absurdné, nič nie je bez dostatočného dôvodu.13

Wolff je ideálny líši od iných”, v podstate chýba niečo ako platónovho dialektikou, alebo Aristotela je indukčné, alebo Kant analýza: objazde diskusiu a triedenie skúsenosti, ktoré umožňuje intelekt prísť na nahliadnutie do prvých princípov. Je zbytočné v Wolff systému, pretože princíp non-rozpor je jediným východiskom. Akákoľvek tendencia považovať hrubou fakty ako podmienené a mimo rozsahu vysvetlenie potrebné dôvodov je potlačené, v Wolff, jeho prijatie Leibniz je Najlepší zo Všetkých Možných Svetov teórie. Podľa tejto teórie, všetko, ale predovšetkým má vysvetlenie v zásade.b. Matematika ako filozofické propagandy.

Matematiky, pretože jeho obrovskú prestíž, vždy je predurčený byť použité na podporu rôznych filozofických pozícií. To bolo prirodzené ako prop pre Osvietenie motív, že by tam mali byť viac Dôvodov na celé kolo. Encyclopédie hovorí: “M. Wolff . . . jasne v teórii, a najmä v praxi, a v zložení, všetky jeho diela, že matematické metódy patrí všetkým, vedy, je prirodzený, ľudský duch, a vedie k objavy pravdy všetkých druhov”.14 Nie, že francúzsky potrebné Wolff povedať im to, vzhľadom na Karteziánske ideály, ktoré vyjadrili, napríklad, Fontanelle:

geometrických ducha teda nie je pripojený k geometria, že to nemôže byť prenesené na iné znalosti aj. Práca, etika, politika, kritika, možno aj z výrečnosti, bude lepšie, všetko ostatné je rovnaké, ak je vykonané ruky matematik. Objednávky, jasnosť, presnosť a exactitude, ktoré majú vládol v lepšie funguje nedávno, sa dá dobre mali svoj prvý zdroj v tomto geometrické ducha, ktorý rozširuje sa viac ako inokedy, a ktorá v niektorých módnych komunikuje sám dokonca aj pre tých, ktorí nemajú vedomosti z geometrie.15

Samozrejme, tam boli counter-prúdy. Tam boli sťažností spoločné vo všetkých storočiach z self-vyhlásil “praktické mužov”, napríklad Fridrich Veľký a Jefferson,16, ktorí považujú vyššie odberov z matematiky ako zbytočné a z humanisti ako Vico a Gibbon, ktorí ošklivosti “zvyk, neohybné, demonštrácia, tak deštruktívne umožňuje pocity morálne dôkazy”.16a

Matematiky bol tiež volal na pomoc viac konkrétnych filozofických prác. Na jednej strane, tam bola podpora údajne vzhľadom na prirodzenú teológiu rôzne “zásady aspoň akcie”. Na druhej úspešnosť predikcie v astronómii by mohla byť podpora predurčenia. Zistilo sa, že mnohé javy vo fyzike by mohlo byť odvodené od “metódy maximá a minimá”, alebo “princípy aspoň akcie”, ako ten, v ktorom uvedie, že cesta svetla z jedného miesta na druhé je ten, ktorý minimalizuje čas jazdy (aj v prípade, ak cesta nie je rovné, pretože odraz alebo lom). Maupertuis Euler vziať to byť dôkaz o konečnej príčiny, a pre existenciu Boha.17 Ich myšlienke vďačí za niečo všeobecnejšie tvrdenie, Leibniz Theodicy, že všetko, čo je potrebné výsledkom maximálne princípe, a to, že dobro tohto sveta je najlepšie možné. D’Alembert, naopak, upozorňuje na nebezpečenstvo “, týkajúce sa to [najmenej akcia] ako primitívne zákon prírody, keď je to iba čisto matematické dôsledku niekoľko vzorcov”.18 verí, že najlepšou nádejou pre krajinách Európy utláčaní povery, je začať štúdium geometrie, ktoré budú viesť k zvuk filozofie.19 Laplace aj v obraz, ktorý straší filozofia stále vyzýva matematiky na pomoc anti-náboženský pohľad na svet:

Vzhľadom na one instant on inteligencie, ktoré by mohli pochopiť všetky sily, podľa ktorej charakter je animovaný a príslušných situáciu bytostí, ktoré skladať . . . to by sa prijať v rovnakom modeli pohyby z najväčších orgánov vesmíru, a tí z najľahší atóm.20

História by teda byť čiastkové pole teórie diferenciálnych rovníc.c. D’Alembert verzus Diderot.

Wolff je ant-ako pokrok prostredníctvom farrago z equivocations a circularities je len deprimujúce, a nerobí nič pre dobe vznikol aj racionalizmus, ale priviesť ho do nerešpektovanie. D’Alembert nie je tak ľahko zamietol, keď sa mu prihovára sa za v podstate rovnaké závery. Jeho bezprostrednom nárok, nie je, naozaj, že všetky predmetov sú úplne prístupní k geometrická metóda, iba to, že mechanika je. Ale mechanika je veľmi inclusive, na typické osemnásteho storočia zobraziť. Ak la Mettrie a d’Holbach boli pravdu o povahe človeka, napríklad, psychológie by sub-pobočka mechaniky. D’Alembert tvrdí, viac presvedčivo ako Descartes, že mechanika je pobočky matematiky, založené ako aritmetický na absolútne nevyhnutné prvých princípov. V druhom matematických verzia Hume je skepsu ohľadne príčin, on ide síl ako “bytosti neznáme a metafyzické”: “Všetci vidíme zreteľne do pohybu a tela je to, že prekročí určitý priestor a že zamestnáva určitý čas na kríž.”20a a Preto zrážok, ktoré majú byť vysvetlené z hľadiska impenetrability, a hustoty telo je len “pomer jeho hmotnosti (to znamená, že priestor by obsadiť, ak by bolo absolútne bez pórov), aby jeho objem, ktorý je, k priestoru je skutočne zaberá”.21 mohlo by Sa zdať, že nie je žiadna nádej, demonštrovať zachovanie hybnosti čisto geometricky:

ak sa Však niekto venuje veľkú pozornosť uvidí, že nie je jediný prípad, kde rovnováhe prejavuje sa spôsobom, ktorý je jasný a zreteľný; to je ten, kde masy dve telá sú rovnaké, a ich rýchlosti rovnakého a opačného.22

Encyclopédie článok “Expérimentale”, ktoré človek očakáva sa spolu Baconian riadkoch, je v skutočnosti používajú d’Alembert propagovať jeho extreme anti-experimentálne názory. Zbieranie faktov, ktoré považuje za pomerne stredoveké cvičenie, nahradené newtonove úvod geometrie do fyziky. Zákony kolízie orgány sú preukázateľné: príroda nemôže byť iným spôsobom. Ale tam je priznanie, že ako rýchlo tela klesne pod gravitácie, a aká je hmotnosť kvapaliny je, musia byť merané; len po, ktoré majú relevantné vied, ako sa stať “úplne alebo takmer úplne matematické”:

Žiadna teória by sa nám umožnil nájsť zákon, že ťažké orgánov postupujte podľa pokynov v ich vertikálne na jeseň, ale keď tento zákon je nájsť prostredníctvom skúsenosti, všetko, čo patrí k pohybu ťažkých telies, či priamočiare alebo krivkový, či šikmej alebo zvislej sa nachádza úplne teóriou.23

Počas týchto prípadoch sa zobrazia ako nešťastné weakenings jeho pôvodný priať čisto deduktívne vedy, d’Alembert komentáre sú tu snáď sa mu najviac solídny úspech. Vo viac matematických vied, skúsenosti však objaví len na podporu niekoľko ľahko možno začiarknuť symetria zásady a jednoduché zákony, zatiaľ čo väčšina hmotnosti vysvetlenie spočíva na ťažké matematické odvodeniny viac jemné javy z týchto. A, ako Leibniz poukazuje,24 symetria princíp má špeciálne logické stav, je uplatňovanie princípu (v)dostatočný dôvod: v d’Alembert napríklad, ak dva orgány majú rovnakú a opačným rýchlosti, ich momenta musí pochopiť, ako nie je dôvod, prečo jeden by mal prekonať ostatných. D’Alembert bol široko myslel, že sa podarilo aj v tom, že princípy mechaniky mal “nevyhnutnosťou ako prísne ako prvé základné pravdy geometria”.25 Kant concurred v d’Alembert je nepravdepodobné, záver.26 Lagrange Méchanique analitique 1788 potvrdil, ďalej, že mechaniky by mohla vyzerať deduktívneho systému, generálny takmer utajiť existenciu síl.27

Z jednej mysle na naložil priestcraft, je nevyhnutné pokrok ľudstva, a o iných ako Osvietenie svorky, dva ťahače Encyclopédie klesol z viac ako matematika. Diderot veril matematiky dosiahli svoj najvyšší bod a bol teraz v úpadku.28 dal prednosť vied plné života a kvas, ako chémia a biológia, kritizovali matematiky ako abstraktné a viac-jednoduchý.29 (D’Alembert, na druhej strane, konštatoval, že hojnosť zážitkové “zásad” je “vplyv našich veľmi chudoby”.30 ) Diderot útok nie je všetko invective; on má filozofické tvrdenie podkopať racionalistov pretensions o matematiku. Je to to isté ako jeden používal dvadsiateho storočia empiricists a positivists, v tom zmysle, že matematika je v podstate triviálne. Geometrické pravdy sú len identity, hovorí to isté v tisíc rôznych spôsobov, ako bez generovania akéhokoľvek nové skutočnosti.31 D’Alembert povolené, tento argument nachádzať v Predbežné Diskurz Encyclopédie, ale odpovedal, že je to len ukázal ako silný matematiky bolo, byť schopný dostať toľko, tak málo.32

3. “MATEMATICKÁ METÓDA” POCHYBOVAL

Ako v dvadsiatom storočí, úspešnosť matematika a priťahovaní od profesionálnych filozofov nie je chvála, ale sťažností, v tom zmysle, že oni, filozofi, nemohol vidieť, ako toľko vedomostí by mohlo byť dosiahnuteľné. Zatiaľ čo veľmi málo boli ochotní ísť do dĺžky Diderot, oveľa argument bol realizovaný s cieľom ukázať, že nároky matematický dôkaz neboli všetky zdalo. Argument, hlavne so zameraním na geometriu. Problém v jeho najjednoduchšej, ako Gauss ju, je, “ak číslo je úplne produktom našej vlastnej mysli, priestor má realitu mimo našej mysle a sme nemôže predpisovať zákony a priori.”33 storočia dedičná, čo by mohlo byť nazývané Euclid-Newton pohľad na priestor a čas. Základné funkcie sú: Priestor a čas sú nekonečné, v rozsahu, vo všetkých smeroch, homogénne, ploché, a nekonečne deliteľné. Pravdy o priestor a čas, možno preukázať s úplnou istotou, v štýle Euklida. Po dvoch tisíc rokov úspechu, fasáda, sa zdalo, nerozbitný. Tento zabránili dvom vývoja, ktorý, v rôznych časoch počas osemnásteho storočia, sa zdalo, že na mieste deje. Prvý je objav non-Euklidovej geometrie. Druhý je prijatie filozofické stanovisko, že vedomosti o priestore, ktorý je niečo reálne, mimo mysle, musí byť empirické a fallible. Problém s Euklidovej tvrdí, že je ťažké vidieť, ako by mohli byť známy, ak je to pravda. Bez školskej magic je intelekt vybavené prirodzené nadanie pre pravdu, a s gnozeologickom starosti stále viac centrálnej filozofie, empiricism a dobe vznikol aj racionalizmus boli v rovnaký, ale opačný quandaries. Pre empiricist, nekonečne veľké a nekonečne malé a nie sú k dispozícii pre kontrolu, tak kde je znalosť ich, aby prišli? Hume bude pokračovať v tejto myšlienke na svoje hranice. Pre racionalistov, istota vyslobodenia z dôvodu na priestor a čas navrhne závislosť týchto pojmov na myseľ. Kant bude pokračovať tento nápad, alebo mimo neho, jeho medziach.

a. Bayle a Saccheri: pochybnosti o základy geometrie.

problém, ako sa zdalo na začiatku storočia možno vidieť v dvoch široko známe semi-filozofických diel, Bayle Slovník (1697) a Saccheri Euklida Očistená od Všetkých Spot (1733). Bayle poznámky, že istota matematická metóda nie je všetko, to je vyhlasoval, pretože tam nie sú spory aj medzi matematikov, pre príklad, cez infinitesimals.34 argumentuje tým, že priestor sa môže skladať ani jeden z matematických bodov, ani Pôžitkársky rozšírené atómy, ani nemôže byť nekonečne deliteľné. On to berie vyčerpať všetky možnosti, a dospela k záveru, v poznámku, ktorá obsahuje semená oboch Hume a Kant, že sa pokúsil o geometrických dôkazy, že priestor je nekonečne deliteľné “slúžiť žiadne iné použitie, ale ukázať, že rozšírenie existuje len v našom chápaní”.35

základným nárok obdivovateľov “matematické metódy” bolo, že Euclid ‘ s axioms boli evidentné. Ale ako pravda, je to tak? Niekde, Euklidovej geometrie, musí tvrdiť, že priestor je nekonečný, ktorý sa zdá byť tvrdenie, presahuje kapacity skúseností vedieť. Euclid ‘ s Piaty Postulát, najmä, tvrdí niečo, čo sa zdá, že potrebujú intuíciu, o ľubovoľne vzdialených priestor:

, Že ak priamka padá na dvoch priamok robí vnútra uhly na rovnakej strane menej ako dva pravé uhly, dvoch priamok, ak vyrobené na dobu neurčitú, stretnúť na tej strane, na ktorej sú uhly menej ako dva pravé uhly.

Saccheri podujal na odvodenie piaty postulát od ostatných, tým, že ukazuje, že prvé štyri postuláty, plus negácia piateho, led na rozpor. Toto je v skutočnosti nemožné zobraziť. Ak je to pravda, to by boli odstránené všetky pochybnosti o self-dôkaz Euklida je axioms. Pristúpi aj na nejaký čas, poukazujúc na to, čo by neskôr sa nazýva teorema v hyperbolickej geometrie, non-Euklidovej geometrie, v ktorom súčet uhlov v každom trojuholníku je menej ako 180o. Potom sa odvodzuje “protipólom”, ale to je unconvincing, ako to vyžaduje spoločné perpendiculars na dve rovné línie “na nekonečno”. On robí ďalší pokus, a opäť tvrdí, úspech, ale tam je chyba. On rád, že výsledok nie je tak jasné, ako by to mohlo byť, a zverejnenie jeho kniha bola zrazená v jeho života (prípadne čím ho oprávňuje k poznámke pod čiarou v dejinách etiky).36

problém stal sa známym: d’Alembert nazývali “škandál prvkov geometrie”. Klügel je dizertačnej práce z 1763 preskúmať dvadsiatich ôsmich pokusov dokázať piaty postulát, k záveru, že boli všetky nedostatky. On dal svoje stanovisko, že postulát nebolo preukázateľné, jeho pravdu, tak sa neopiera o rozsudku zmysly.37 Kant len vážny pokus urobiť z práce svojich vlastných v matematike bol pokus dokázať piaty postulát.

Lambert prišiel najbližšie k myslenie, pokiaľ ide o skutočnú alternatívu geometrie, písanie, “mal by som takmer záveru, že tretia hypotéza [uhla súčet menej ako 180o] drží na imaginárny sfére”.38 Napriek tomu, ako Saccheri, on nesprávne tvrdí, odvodiť protirečenie, a skutočnú možnosť non-Euklidovej geometrie nebola vykázaná kým sa dobre po roku 1800. Filozofická záväzok self-dôkaz Euklida stimulovať dôležité matematické práce, na jednej strane, ale zároveň oneskorené objav správnu odpoveď, ktorá bola a nie jedna požadovaný filozofie.

b. Berkeley Analytik: kalkul a infinitesimals.

Berkeley všeobecné filozofia matematiky ukazuje, intelektuálnej nezávislosti, prinajmenšom. Odmietnutie úplne názory, že matematika je o to buď množstvo alebo odberov, on je prvý formalist filozof aritmetiky, tvrdí, že tam je len manipulácia symboly podľa pravidiel.39 Geometrie, verí, môže byť len o vnímaní rozšírenia. On je tým led odmietnuť nekonečná deliteľnosť priestoru; ako Hume po ňom (a to je miesto, kde Hume a Berkeley je filozofia prísť najbližšie) on popiera zmysluplnosť akéhokoľvek hovoriť o dĺžkach menej ako minimálne visibile alebo minimálne tangibile.40

Pripravila tieto neštandardné špekulácie, Berkeley napadol matematikov’ pochopenie základov v štátnom rozpočte vo svojej Analytik, 1734, ako beznádejne zmätený a protichodné. Epizóda má osobitné miesto v dejinách filozofie, ako jeden z mála prípadov, keď technickej oblasti sa nakoniec priznal, že filozofia prísne tzv. získal víťazstvo nad technických odborníkov z praxe. Berkeley určené argument na to, aby slúžili účelu v filozofia náboženstva, tým, že ukazuje, že tam boli tajomstvá, ako nepochopiteľné, ako tých, náboženstva aj v paradigme dôvod, matematika.41 argument sám, však, je úplne nezávislé od jeho účel.

Pri otázke je význam derivátu, alebo rýchlosť zmeny premennej množstvo — “fluxion” “plynule”, v newtonove terminológie. Ak chceme merať rýchlosť pohybujúceho sa objektu, ktorý je, rýchlosť zmeny vzdialenosti, používame jednotku, ako kilometrov za hodinu. Nájsť číselná hodnota predmetu je rýchlosť, preto sme sa rozdeliť vzdialenosť cestuje v každom časovom intervale od dĺžky intervalu. Ak rýchlosť je konštantná, žiadne problémy vznikajú: odpoveď je rovnaká bez ohľadu interval je prijaté. 12 km delené 3 hodiny dáva rovnaká odpoveď ako 8 kilometrov rozdelených do 2 hodín, a to 4 km za hodinu. Ale ak rýchlosť je sám premennej, koncepčné problémy vznikajú v snaží vysvetliť, čo okamžitú rýchlosť je, v akomkoľvek okamihu. Pre rýchlosť vypočítaná z delenia všetky konečné vzdialenosť prekročená obmedzeným čas potrebný na to nie je okamžitá rýchlosť, ale priemerná rýchlosť nad interval. Je prirodzené približnú rýchlosť, okamžitú bližšie pričom menšie a menšie intervaly vrátane tých, ktoré sú okamžité, ale problém zostáva, že okamžitá rýchlosť a priemernú rýchlosť sú rôzne, obe koncepčne a numericky. Newton používa ako doubtfully zrozumiteľnom jazyku ako:

Fluxions sú veľmi takmer ako znásobuje z fluents generované v rovní, ale veľmi malé častice času; a hovoriť presne, sú v prvý pomer rodiacej sa zväčšuje . . .42

Pri výpočte rýchlosť, ak prejdenú vzdialenosť v čase x xn, on najprv zistí, prejdená vzdialenosť v čase medzi x a x + i, rozdeľuje ho na “rozšírenie” časového úseku o, a nakoniec tvrdí, že keď rozšíriť o zmizne, ich “ultimate pomer” je ako nx n-1 1. Berkeley kritika je úplne správne:

Na keď to povedal, nech sa inkrementuje zmiznúť, alebo nech tam byť žiadne krokoch, bývalý predpoklad, že prírastkov bolo niečo, alebo že tam boli prírastkoch, je zničený, a ešte dôsledkom toho, že predpoklad, teda, výraz sa dostal na základe nich, je zachovaná.43

Skutočne, rozdelenie oo nájsť priemernej rýchlosti vyžaduje, aby sa o nie je nulový, zatiaľ čo neskôr o sa považuje za nulovú. Nie je to použiť tvrdí, že o je malá, pretože ako Berkeley opäť hovorí: “najmenších chyby nie sú zanedbané v matematike”. Newtonove pokúša hovoriť o znásobuje ako “rodiace sa” a “evanescent”, a pomerov ako “prvý” a “ultimate” láka Berkeley najznámejšie kus posmievať: “A čo sú to tie isté evanescent prírastkoch? Nie sú ani obmedzené množstvo, ani množstvo nekonečne malé, ani nič. Môžeme nie hovoru ich duchovia zosnulých množstvách?”44 Berkeley aj útoky s spravodlivosti iných častí newtonove štátnom rozpočte, najmä vyššie deriváty. Rýchlosť je sám o sebe premenné množstvo, tak to má fluxion, alebo miera, pri ktorej je zmena zrýchlenia. Ak je ťažké to vysvetliť prvý derivátu v zmysle pomery “evanescent” množstvo je dvojnásobne tak vysvetliť v takých podmienkach, čo druhé alebo tretie derivátu je:

rodiaci Sa celerity z zhoršenie celerity, rodiacej sa rozširujú o rodiacej sa rozširujú, teda, vec, ktorá má v sebe žiadny rozsah, — si ju v tom, čo svetlo vás prosím, jasnú koncepciu to bude, ak by som chybu, nie, nájsť nemožné.45

Zlé odpovede na Berkeley začala jeho vlastné,46 a povodní z nich sa objavil z ako ďaleko preč ako Amerika.47

Tu sú ďalšie možné spôsoby vyjadrovania, aké to je, že pomery sa prijímajú. Na kontinente, bolo bežné, že hovoriť v zmysle “infinitesimals”. Tieto boli vyhodnotené ako menšie množstvá ako nejaké obmedzené množstvo, ale nie nulová. Okamžitá rýchlosť by sa potom považuje za presne pomer infinitesimal zväčšuje, hoci len približne pomer akéhokoľvek obmedzeným znásobuje.48 “jasnú predstavu o ich” ukázalo č ľahšie dosiahnuť ako fluxions.

Jedna z vážnejšie pokusy vyriešiť problémy, bol Maclaurin Traktát o Fluxions 1742. Pokúša sa ukázať, že fluxions sú zovšeobecnenie “geometria antients”, pomocou Archimedes ” metódou vyčerpania nahradiť infinitesimals, ktoré sťažuje, “Z geometry infinities a infinitesimals prešiel do filozofie, účtovná s nimi obscurity a rozpakoch, ktorý nemôže zlyhať sprevádzajú”.49 Jeho myšlienka je v zásade rovnaký ako moderná liečba pomocou limity, ale Maclaurin zachováva kinematická pojmy, ktoré by neskôr sa považuje za nedostatočné. Najmä, on definuje fluxion obscurely z hľadiska porovnávacieho: “prírastok alebo úbytok, ktoré by boli generované v danom čase podľa tohto pojmu, ak to bolo pokračovanie jednotne”.50 D’Alembert a L’Huilier sa snažil založiť štátnom rozpočte na limity, spôsobom, ktorý bol v podstate správne, ale stále chýbala presnosť dosiahnuť v budúcom storočí používanie viacerých quantifiers.51 Lazare Carnot Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 1797, dosiahnuť oveľa viac populárne úspech, opakovaním všetkých najhoršie prípady infinitesimals.52 debaty o tom, či sa infinitesimals sú nulové, alebo nie, či môžu byť vymyslené, a či sa limit je alebo nie je skutočne dosiahnuté často čítajte viac ako Kantian protiklad ako skutočná vec.

c. Hume z matematiky.

Hume filozofia matematiky je fyzická outgrowth jeho kombinácia obvyklé “veda množstva a rozšírenie” zobraziť s jeho požiadavkou, že všetky pojmy byť vysvetlené z hľadiska dojmy a myšlienky. V rozdelení pravdy vzťahy medzi nápadov a skutočnosti, že matematika patrí výhradne na strane nápady. Ale keďže vzťahy nápadov, ako podobnosť a contrariety sú “viditeľný na prvý pohľad”, to nie je tak s “proporcie množstvo alebo počet”. Aj keď nie je rôzne v naturáliách podobnosť, pretože ich komplexnosti “ich vzťahy sa stávajú zložité a zapojiť”, tak že prichádza, že ich môže potrebovať nejakú “abstraktné uvažovanie a čiastkové”, alebo demonštračné činnosti (pokiaľ “rozdiel je veľmi veľký a pozoruhodné”). Vzťahy zaobchádzať v aritmetika a algebra sú najlepšie známe, pretože ich “vynikajúcu presnosť a exactness”. Napríklad, dve čísla, môže byť infallibly výrazný rovnaké, keď “ten má vždy zjednotiť odpovede na každý zjednotiť ostatných”, pretože to je niečo, čo priamo možno začiarknuť.53 Takýchto zložitých matematických skutočnosti, že číslo je deliteľné 9, ak súčet balónika je tiež deliteľné 9 môže na prvý objaví výsledkom náhody alebo dizajn, ale úvaha ukazuje, že výsledok z “povahy čísla”.54 Hume tým nesúhlasí s tým, že matematika je syllogistic, alebo akýmkoľvek iným spôsobom “analytické” v akomkoľvek zmysle, ako triviálne alebo prázdnym pojmom. Ale on sa držia toho, že matematické pravdy sú známe odstraňovaním merkaptánov a nápadov (množstvo) k nejakej čisto koncepčný “analýza” (nie Hume to slovo).55

Dokonca preukázať matematické poznatky v praxi sa fallible, však. Pre istotu, že výsledky z objavovanie vzťahov je iba “v zásade”, keďže skutočné reasoner môže robiť chyby. “Pravidlá sú určité a spoľahlivý, ale keď sme sa ich uplatňovať, náš fallible a neisté fakúlt sú veľmi apt odchýliť sa od nich”.56

Geometria má menej istoty ako algebry a aritmetiky, pretože sa zaoberá kontinuálne množstvo, ktoré nie je možné merať presne. Výsledkom je, že Hume sa stáva, Berkeley, jeden z mála filozofi v histórii odmietnuť nekonečnú deliteľnosť priestor. Téma patrí viac správne, aby svoju filozofiu miesta, ako je jeho filozofia matematiky-aj samozrejmé, že rozdiel je anachronizmom. Ale jeho odpovede na údajné matematických ukážky nekonečnú deliteľnosť priestor, ktorý bol schválený ako dobrý orgánov ako Port Royal Logika a Barrow,57 sú niektoré stojí za to. Matematické argumenty jednoducho spočívať v extrakcie predpoklad, nekonečnú deliteľnosť, ktoré je obsiahnuté implicitne v Euklida, a nie je možné určiť, či skutočný priestor je nekonečne deliteľné. Hume ide nejaký spôsob, ako k odhalil túto chybu, keď mu pochybnosti presná korešpondencia medzi axioms geometrie a našej predstavy o vesmíre: “žiadna z týchto demonštráciách môže mať postačujúcu váhu, vytvoriť taký princíp, ako to nekonečná deliteľnosť; a to preto, že so zreteľom na tieto minúty objekty, ktoré nie sú správne demonštrácie, postavený na myšlienky, ktoré nie sú presné.”58 nie je Tam žiadny spôsob, ako si byť istý, že napríklad dve priamky s malým uhlom medzi nimi stretnúť len v jednom bode.59 Ale chyby geometrie “, nikdy sa značné”. Mohlo by sa zdať, že Hume bol podstatne vindicated tým, že následný vývoj, ktorý sa zistilo, že rozhodovaní o tom, či priestor je presne Euklidovej je empirický otázku, aj keď to je samozrejme približne Euklidovej v našom regióne.

aspekt Hume a Berkeley písania na geometriu, ktorá je centrálne, ale niektorí komentátori našli odd je ich reči “časti nápady”. Rozprávajú, napríklad, na koľko nedeliteľných častí predstavu o rozšírenie “ako koncipované predstavivosť” môžu byť rozdelené.60, Ak človek urobí to vážne, mohlo by sa zdať, že nápady alebo predstavivosť sami majú kvázi-priestorové kvality. Hume nie je rozvíjať tento pojem ďalej, ale Reid sa, a ide tak ďaleko, ako povedať, čo presne je priestorovú štruktúru “geometria visibles”. To je geometriu povrchu gule.61

d. Kant

kľúčom k Kant pohľady na matematiku, a mnoho iného, je pojem výstavby v geometrii. V Euklida, tam sú postuláty ako: “nakreslite rovnú čiaru z akéhokoľvek miesta na akékoľvek miesto”, ktoré tvrdiť, že určité veci sú, alebo môžu byť konštruované. Prvá vec, Euklida dokazuje, že je rovnostranný trojuholník môže byť konštruované na každý riadok. V učenia, ako dokázať, že v geometrii, ako samozrejme všetkých vzdelaných osemnásteho storočia osôb urobil, jeden musí stráviť veľa času rozhodovaní o tom, ktoré riadky predĺžiť, ak nakresliť nový kruh, a tak ďalej. Z pohľadu modernej formálnej logiky, to môže byť považovaná za chybu v Euclid ‘ s úpravou geometrie, ale zo staršej hľadiska to posilňuje dve poznatku: že Euklidovej geometrie nie je čisto syllogistic, a že ide o reálny priestor.

fascinácia s “stavba” už bolo zrejmé, v Vico. Prvé oznámenie o jeho verum-factum teórie sa v súvislosti s geometria: “Sme preukázať, geometrické veci, pretože sme sa, aby boli”.62 Aj vtedy, keď jeho “Novej Vedy” ľudských vecí je plne vyvinutá a jeho kontrast s prírodných vied zdôrazniť, jeho prepojenia s geometrie sú zachované. Obe vybudovali svet, v ktorom štúdia.63 To bol uvedomil, že stavieb nemal dobre zapadajú do Wolffian zobraziť vied ako dokazuje pravdy o vzorcami z ich definície. Wolff bol pripravený tvrdiť, že kresba spojnica medzi dvoma bodmi tiekla z definície riadku, ale to nie je hodnoverný. Rüdiger tvrdí, že Wolffian “matematické metódy” je travesty real matematiky, pripomínajúc kontrola náležitostí v geometrické konštrukcie a v počítaní.64 Lambert opisuje zážitok z čítania Euklida po Wolff, a uznávajúc, že Euklida je nič, ako Wolff hovorí, že by mali byť. Poznamenáva, že Euklida nie je odvodenie veci z vymedzenia priestoru, ale začína linky, ako simples, a exponáty prvá možnosť je rovnostranný trojuholník.65

Takže, keď Berlínskej Akadémie predstavuje otázka, či metafyzickej pravdy by mohla byť v zhode s matematickými pravdu, Kant v jeho “Cena Práce” odpovedal: matematika má konštrukcie, alebo syntéza, zatiaľ čo metafyziky nie.66 V Kant, výstavby v geometrii sa používa na vyplnenie vaguer pojmy z predchádzajúcich sto päťdesiat rokov v duchu, že to možné je to, čo môže byť jasne a zreteľne koncipovaný (v “predstavivosť”, koncipovaný ako mentálne vizualizáciu zariadenia). Kantian “intuícia” je, ako scholastics’ “zrozumiteľnom vec”, médium, pomocou ktorého možno vyvodiť nie je len niekoľko jednoduchých nápadov byť v porovnaní s druhými, v štýle Locke, ale celé geometrických obrazcov. Čo môže byť tak čerpané je viac obmedzený ako čo len neobsahuje logické protirečenie. Napríklad, tam je žiadny rozpor koncepcia dvoch priamok stretnutie v dvoch bodov, a prikladať útvar; avšak, nie ako na obrázku, je to možné, pretože to nemôže byť konštruované: “Že medzi dvoma bodmi je iba v jednej línii . . . nemožno vyvodiť z niektorých univerzálny pojem priestor, ale len na videl v priestore seba ako na niečo konkrétne.”67 Podobne, že je rovinou prechádzajúcou všetky tri uvedené body, je zrejmé, pretože intuícia vytvoria postavu “okamžite”.68 na Tieto potreby a možnosti sú, “syntetické”, tak v tom zmysle, že sa nedodržiavajú jednoducho z formálnych logických princípov, a tiež v tom zmysle, že zahŕňajú “syntéza”, alebo konštrukcie. Tieto pravdy sú tiež priori, pretože Kant nie je pripravené na kompromis absolútnu istotu matematiky. Tak Leibniz, že on si myslí, nemôže mať pravdu o vesmíre, ktoré vyplývajú z vzťahy medzi skutočné predmety, pretože by geometrie empirické, a tam môže od non-Euklidovej priestor, ktorý Kant znamená byť nemožné.69 To je jeho vlastné teórie, že priestor sa ukladá do pamäti, že je potrebné zabezpečiť istotu geometria: “Iste, keby nebola pojem priestor bol daný pôvodne podstaty mysle . . . potom pomocou geometrie v prírodnej filozofie by byť ďaleko od bezpečí.”70

je jasné, ako sa potom Kant syntetické priori, na ktorý sa toľko v jeho filozofie záleží, je výsledkom kombinácie troch existujúcich nápadov: Euklidovej výstavby, zníženie koncepty, myšlienky v “predstavivosť” alebo “intuícia”, a istotu geometrie.

Kant nájde výstavby aj v aritmetické, v myslení, koľko krát jednotka je obsiahnutá v množstve: “to ako-mnoho-krát, je založená na postupné opakovanie, a preto na čas a syntéza homogénne v ňom”.71 pojem čísla je ten, ktorý “v sebe naozaj je intelektuálne, ale, ktorých ovládanie v betóne vyžaduje pomoc pojmy priestoru a času (postupne pridávať množstvo vecí a nastavenie ich súčasne vedľa jeden druhého).”72 V slávnej priechod Kritika Čistého Rozumuvysvetlením, prečo návrh “7 + 5 = 12” je syntetický, Kant píše:

koncepcie 12 nie je len myšlienkou v myslenie únii 7 a 5; a ja sa môžu analyzovať moja koncepcia takéhoto možný súčet, ako dlho, ako ja, prosím, ešte som sa nikdy nájsť 12 . . . počnúc číslo 7, a pre koncept 5 volanie v pomoci prstov z mojich rúk ako intuícia, I teraz pridať po jednom, k číslu 7 jednotiek, ktoré predtým som vzal tvoria spolu počet 5, a s pomocou tohto obrázku vidieť počet 12 prísť do bytia.73

Konštrukcia je tu s reálnymi prsty, nie “predstavivosť”, ale Kant znamená presne prispôsobiť mysli, štruktúrovanie skúsenosti pri vnímať prsty na výstavbu v predstavách: “Presne rovnaký obraz-tvorí syntézu, v ktorej sme zostrojiť trojuholník v predstavách, je úplne totožné s tým, ktoré sme cvičenie v obáv o vzhľad tak, aby sa empirický pojem a súčasti”.74 Kant zdôrazňuje, že on nie je len priemerná čítal výsledky z obrázku; tam je intelektuálne prevádzka zapojených, ktorý je zodpovedný za potrebu pravdy. Veľké čísla, napríklad, samozrejme, nemôže byť použitý o okamžitý pohľad; to, čo je dôležité, je “schéma” po sebe nasledujúcich okrem jednotiek, ktoré umožňuje celková byť syntetizované, že je, počítať.75 essentials tohto objavu, že nutnosť matematické poznatky pochádza z preukazov, obrázok alebo skúsenosti konštrukcie alebo syntéza podľa niektorých pravidlo, Kant atribúty najskôr gréckej geometers.76

Kant prináša rovnaké myšlienky na problémy nekonečné. Ako tieto problémy sa objavili na matematici v Kant čas je zrejmé z hľadiska ceny stanovené Berlínskej Akadémie Vied (Matematická Sekcia) pre 1786:

je potrebné jasne a presne teórie, čo sa nazýva Nekonečná v Matematike . . . niektorých významných moderných analytici priznávajú, že fráza nekonečnej veľkosti je rozpor podmienok. Akadémia, preto, túžby vysvetlenie, ako to je, že toľko správne teorema boli odvodené z protichodných predpoklad, spolu s enunciation z istý, jasné, skrátka naozaj matematické zásady, ktoré môžu byť nahradené inými, ktoré z nekonečné . . .77

Kant vidí tento problém príliš z hľadiska výstavby alebo syntéza: “Od unrepresentable a nemožné sa bežne zaobchádzať ako majú rovnaký význam ako pojmy oboch kontinuálne a nekonečné prísť odmietol veľké množstvo ľudí”.78 Tak pojem vyplnený infinity neobsahuje žiadne protirečenie, ale pretože to “nikdy nemôže byť dosiahnuté prostredníctvom nasledujúcich syntéza”,79 to nie je predmetom všetkých možných skúseností, intuície, alebo konštrukcie. Ale, na druhej strane sa zdá, že žiadne limity na čas alebo priestor buď; napríklad, “začiatku stále predpokladá, čas, ktorý ju predchádza”.80 Tak na otázku, “Ale to, čo je veľkosť sveta, v ktorom žijeme, konečný alebo nekonečný?”, Kant odpovede: ani; na požiadanie odpoveď je predpokladať “, že svet je celý rad vystúpení, je vec sama v sebe, že zostáva, aj keď som pozastaviť nekonečné alebo konečných regress v sérii vystúpení”.81

Veľa rovnaký postup sa uplatňuje na nekonečne malé. Ak chcete vidieť problémy o kontinuitu priestor v zmysle “nekonečná deliteľnosť” už hrá do Kant ruky. Je rozdelenie ľudských zákona, čo naznačuje, Kant, že zákon o stavbe line neustálym tečie pohybu, prichádza ako prvý, nasleduje stavebníctvo jeho častí ďalšie zákon rozdelenia (skôr ako časti prichádza prvý a spolu tvoriace miesta).82

dopyt Po constructibility je, zdá sa, v dolnej časti ako centrálne Kantian témy ako ideality sveta. Aj noumenon, nedostupný zo skúsenosti, z ktorých nekonečný je, tak povediac, prvý príklad.

Inak sa zdá, že problém výstavby je artefakt z osemnásteho storočia je primitívny pohľad na geometriu, je možné si všimnúť, že problém pretrváva v modernom základy matematiky. Tam, jeden za normálnych okolností preukáže súlad pojem, tým výstavby je z sety, ale na to si vyžaduje “axiom of infinity”, ktorý zaručuje, že sa dostatočne veľa sady “existovať”, najmä, že dokončené infinity z nich existuje.

4. NOVÉ OBJEKTY MATEMATIKY

a. Algebra.

Algebra tendenciu mať viac a viac matematiky v osemnástom storočí. Kde Newton mal prepracovať jeho odôvodnenia v geometrické formy pre verejnú spotrebu, Lagrange Méchanique analitique 1788 hovorí:

Žiadny výkresy sú uvedené v tejto práci. Metódy, ktoré dnes vyžadujú ani konštrukcií, ani geometrické alebo mechanické argumenty, ale len algebraické operácie, podliehajú pravidelný a rovnomerný priebeh.83

Condorcet hovorí, že Euler “vycítil, že algebraické analýza bola najrozsiahlejším a určitý nástroj, jeden môže využívať vo všetkých vied, a on sa snaží vykresliť jeho použitie univerzálne. Táto revolúcia … zarobené mu česť, unikátny tak ďaleko, toho, ako mnoho učeníkov, ako Európa má matematici”.84 A v vzácne chvíle dohode s Euler, d’Alembert hovorí algebra “je základom všetkých možných objavy týkajúce sa množstva . . . Táto veda je najďalej outpost, na ktoré rozjímanie vlastností hmoty môže viesť nás, a nemohli by sme ísť ďalej bez toho, aby materiál vesmíre úplne.85, Ale po zistení, že algebra je dobrá vec, čo presne je? Pôvodne to bola metóda riešenia problémov tým, že písmená stoja za neznámu a manipulácie písmená tak, ako keby boli čísla. Aj na tento úzky pohľad, algebra mal filozofický význam, ako to bolo metóda objavovania odpovede, a tak sa zdalo, že na strane “analýza”, ako protiklad k “syntetické” odvodzovania známe pravdy z axioms v štýle Euklida.86 Ale 1700 to zdalo viac než to. Berúc na vedomie, že listy, ktoré mohli stáť za geometrických veličín tak ľahko, ako na numerické tie, rôznych mysliteľov vyhlásená algebry, aby sa veda množstvo vo všeobecnosti platí, že je prakticky celý matematiky.87 Aj v prípade, že boli dohodnuté, veľa vecí zostalo nejasné. Napríklad, čo by mohlo písmená predstavujú — komplexné čísla? Infinities? Infinitesimals? A ak algebry bol všeobecné matematiky, kde boli jeho axioms?88

Iný pohľad algebry bolo, že Wolff, kto to videl ako súčasť Leibniz univerzálne charakteristické, že je, ako všeobecný spôsob uvažovania symbolicky.89 V rovnakom duchu, Condillac je myšlienka matematické metódy, ktoré by mali byť uložené na filozofiu nebolo tak veľa Euklida ako riešenie rovnice, manipulácia známych a neznámych, kým knowns sa objavili sami.

Rovnice, propozície a posudky sa v podstate to isté, a preto jeden dôvodov rovnakým spôsobom vo všetkých vied . . . Práve sme videli, že, rovnako ako rovnice x – 1 = y + 1 a x + 1 = 2y – 2 , prechádzať rôzne transformácie stať y = 5 a x = 7 , pocit prechádza rovnako prostredníctvom rôznych transformácií, aby sa stal pochopenie.90

O francúzštinu ako jazyk chýba chuť a presnosť, navrhol, aby sa reforma na základe gramatiky algebry.91 Kant hovorí, že algebra výnosy manipuláciou uninterpreted symboly “, až sa nakoniec v závere zmysle symbolický záver sa vykladá”. Jednoduché tlačenie okolo symbolov je to, čo dáva “rovnakou istotou, s ktorým je zabezpečená, čo človek vidí s niečí oči” (keďže s filozofia jeden musí udržať významy v mysli celý čas).92 Tieto sú rovnaké nároky, vyrobený okolo roku 1900 na formálne logike. Možnosť manipulácie symboly bez zúčastňuje na ich význam nie je bez problémov. Jeden môže skončiť s závery, ktoré neznamenajú nič, buď. Euler je slávny pre jeho nedostatok prísnosti pri výpočte s nekonečná séria bez obáv o ich konvergencie je typický nielen pre neho, ale storočia správania dlho, “filozofické” diskusie o skutočný súčet série:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – . . . 93

V prípade ak ešte horšie, keď sa manipuluje symboly, ktoré sú výslovne uvedené mať žiadny význam, ako sú tie, označujúce odmocniny záporných čísel. Aj keď potrebné pre výpočty nie sú v definícii veličiny ako sú “schopné zvýšiť a znížiť”, ako sa nemôžu byť menší alebo väčší ako jeden druhého. Euler hovorí o nich ako o “nemožné”, ale pokračuje výpočet extenzívne s nimi.94

Euler zohrala kľúčovú úlohu v zdôraznil, centralita pojem function sa v matematike (Jeho význam je uvedená aj skutočnosť, že približne polovica moderné čistá matematika je “funkčná analýza”). Jeho cieľom bolo nahradiť nepresné geometrické pojmy a dynamickosť metafory “fluents” s niečím, presnejšie, a prístupní k výpočtu. On pôvodne definované funkcie v algebrické výrazy, ako výraz zahŕňajú premenných: “funkcia premennej množstvo je analytickým vyjadrením pozostáva žiadnym spôsobom s variabilnou množstva a čísla alebo konštantné množstvo”. Napríklad, az + √(a2 a – z 2) je funkciou z (kde je konštantná).95, Ale neskôr sa jeho rokovania s d’Alembert cez vibračné string presvedčil ho, tento pojem bol príliš úzky, pretože je potrebné zvážiť ďalšie nepravidelné funkcie, ktoré nemusia byť expressible o algebraických vzorec. Mal veľký úspech v vysvetliť, čo tento pojem by mal byť.96 Lagrange tiež pokúsil čisto algebraické pojem funkcia, a snažil sa ju použiť ako základ pre kalkul “nezávislé všetkých metafyziky”. Tvrdil, že dokázať, že každý differentiable funkcia môže byť vyjadrená ako energia série, ktoré je zastúpené algebraically (snáď s výnimkou v izolovaných bodov).97Toto je nepravdivé, ako Cauchy čoskoro ukázali. Keď najlepší matematici vo svete začať tvrdia, že dokázal to, čo je nepravdivé — vzácnej udalosti, oveľa úveru z matematiky-je čas dospieť k záveru, že tvrdosť nie je luxus. Devätnásteho storočia drew správny záver, čo vedie k správnemu základy výpočtov, a ak chcete nastaviť teórie.

Len viditeľné v práci Lagrange sú začiatky moderných abstraktné algebry. To je predmetom, ktorý možno väčšina zrejme ponuky nie množstvo, ale s určitým typom abstraktnej štruktúry. Lagrange, inquiring, prečo nebolo možné nájsť vzorce pre riešenie rovníc stupeň 5 alebo vyšší, domnieva funkcie koreňov rovnice, ktorá sa nemení, ak korene sú permuted, alebo vymeniť. Chápe, že niektoré permutácie môže byť “nezávislé” iných, tak si myslel, permutácie, variácie, ako samotné subjekty s interrelationships. Tieto permutácie forme prvého nového druhu predmetu matematika, neskôr objekt moderného skupiny teória.98 Ruffini práce 1799 ide ďalej, vzhľadom na všetky permutácie, variácie (skupina, v moderných pojmoch) a ich zloženie.99

niektoré alebo všetky tieto vývoj v matematike môže mať za predpokladu, filozofi osemnásteho storočia s perfektným príklady prehlbovanie znalostí prostredníctvom analýzy nápady, keby informovaný sami o nich.

b. Experimentálny dôkaz v matematike.

Počas osemnásteho storočia obdivoval prísnosti Euklida, vlastné matematika je známy pre nedostatok prísnosti. Môže sa stať, že filozofické dôraz na nápady, ako sa proti formálnej logiky prispel k nerešpektovanie formálne prísnosti.100 V každom prípade, ak matematické závery majú byť podporované nič menej ako kompletná formálna demonštrácia, je potrebné zvážiť, ako tam môže byť menej ako deduktívne logické podporu. Euler bol prvý, medzi buď filozofov a matematikov, argumentovať, výslovne pre použitie experimentálne, alebo pravdepodobné, usudzovanie v matematike.

Tak sa zdá, že nie je trochu paradoxné, aby prisudzujem veľký význam pozorovania v tejto časti matematických vied, ktorý sa zvyčajne nazýva Čistá Matematika, keďže súčasný názor je, že pripomienky sú obmedzené len na fyzické objekty, ktoré robia dojem na zmysly. Ako sme sa musí vzťahovať čísla čistý rozum sám, môžeme len ťažko pochopiť, ako pripomienky a kvázi-experimenty je možné použiť pri vyšetrovaní povahy čísla. Napriek tomu, v skutočnosti, ako som sa uvádzajú sa tu s veľmi dobré dôvody, vlastnosti čísla známe dnes boli väčšinou objavili pozorovanie, a zistil, dlho predtým, než ich pravdu potvrdil, neohybné, demonštrácie. Sú tam aj mnohé vlastnosti čísla, s ktorými sme sa dobre pozná, ale čo sme doteraz nie sú schopní preukázať, len pripomienok nás viedli k ich vedomia.101

Jeho diela obsahujú množstvo príkladov ako dôvod probabilistically v matematike. On používa, napríklad, niektoré odvážne a, samozrejme, ďaleko od prísne metódy k záveru, že nekonečný súčet

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …

(kde čísla v spodnej časti frakcie sú po sebe nasledujúcich štvorcov celých čísel) sa rovná prima facie nepravdepodobné hodnotu π2/6 Zistenie, že dva výrazy sa dohodli na sedem desatinné miesta, a že podobné tvrdenie viedlo k už ukázal výsledok

1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + … = π/4

Euler uzavretá, “Pre naše metódy, ktoré sa môžu objaviť na niektorých ako nie dostatočne spoľahlivý, veľký potvrdenie prichádza sem na svetlo. Preto sme sa nesmie pochybovať, na všetky ostatné veci, ktoré sú známe tým istým spôsobom.”102

Laplace a Gauss, ktorí boli v tom, dohodli nedbalo, že takéto uvažovanie bol ústredným matematiky.103 Aj Wolff píše, že “príklady hypotézy sú tiež nájdené v aritmetické, ktorý najprv ovplyvnené mi pozrieť na filozofickej hypotézy viac pozitívne”. Čo má na mysli, je výpočet odpovede postupné približovanie, počiatočné myslím, že hypotéza.104 Ešte filozofov pronouncing z matematiky, pretože majú málo vzhľadom na to miesto.

iný spojenie medzi pravdepodobnosťou a čistej matematiky bol objavený Lambert. Chápe, že rad číslic vyrába náhodný proces, ako hádzanie kockou, bude chorým alebo patternless, ale to isté sa dá povedať aj o číslic π alebo z √2, ktoré sú úplne určené. On je pripravený povedať, že pravdepodobnosť, že stý číslica √2 päťročný je 1/10.105, Či pojem pravdepodobnosť, môže byť aplikovaný v takom deterministický prípad je stále rozhodujúca otázka vo filozofii pravdepodobnosti.

c. Topológie.

Topológie poskytuje najjasnejší príklad predmet matematika, ktorý by sa vošiel pod starým rubriku, “veda množstvo”. Občania Königsberg si všimol, že to zdalo byť nemožné prejsť cez všetkých sedem mostov prepojenie dvoch brehoch Rieky Pregel a jeho ostrovy, bez chôdza cez aspoň jeden z nich dvakrát. Euler sa ukázalo, že boli správne. To je problém, v oblasti teraz nazýva topológia sietí. Nie je množstvo podieľajú na problém, len usporiadanie systému mostov a pozemky oblastiach. Euler píše:

pobočka geometrie, ktorá sa zaoberá veličín bol horlivo študoval v celej minulosti, ale tam je ďalšia vetva, ktorá bola takmer neznáme až do teraz; Leibniz hovoril o to prvé, volanie je “geometrie polohy”. Táto pobočka geometry sa zaoberá vzťahy závislé od polohy on sám, a skúma vlastnosti polohy; to neberie veličín do úvahy, ani sa zapojiť výpočet s množstvách. Ale zatiaľ žiadnu uspokojivú definíciu dostal z problémov, ktoré patria do tejto geometrie polohy.106

Čo Leibniz hovorí o “geometrie polohy” bolo aj krátke a veľmi vágne,107 ale Euler nebol jediný nájsť to sugestívne. Buffon súvisí to krátko na skladanie semená a symetria v pletenie, a poznámky, že “umenie poznať vzťahy, ktoré vyplývajú z postavenia veci by byť rovnako užitočné ako a možno dôležitejšia ako to, čo má veľkosť veci, len pre svoj objekt”.108 Kant vidí spojenie medzi ním a jeho nápady na incongruent partnermi.109 predmet bol daný niektoré viac, určitý obsah Vandermonde, ktorý ako prvý nakreslil graf, v modernom slova zmysle systému uzly spojené linkami. Použil ho vyriešiť problém rytiera tour v šachu, “používanie čísla, ktoré nepredstavujú množstvo vôbec, ale regiónov v priestore”.110d. Sociálne matematiky a morálne algebry.

Ak nápady časti, možno jeden by mal počítať s nimi? Alebo možno vážiť nich, ak sa líšia v ich platnosti. Tam by výsledok “morálne aritmetický”, alebo “morálne fyziky”. Samozrejme, existujú merania problémy: ako sú psychologické jednotky, aby sa merajú a porovnávajú, alebo dokonca identifikovať? Hume naznačuje, že veľkosť najmenší dojem môžete nájsť z merania najmenej viditeľné bodka;111 takéto merania na prahu viditeľnosť boli vykonané v Hume celý život.112 Buffon napovedá o pravdepodobnosť náhlej smrti v najbližších dvadsiatich štyroch hodín, jeden v prime života, ako štandardná jednotka “morálna nemožnosť”, na ktoré rozumný človek dáva žiadne vážne myslel.113 Maupertuis znižuje morálku k obozretnosti a opatrnosti na hedonistic calculus: “Odhad šťastné a nešťastné chvíle je súčinom intenzity radosť alebo bolesť tým, že trvanie”. Meranie intenzity môže byť ťažké, ale Maupertuis pozýva väčšinu na fakt porovnanie, napríklad bolesť činnosti, na kameň, s dlhšia, ale menej bolesti vylučujeme prevádzky.114 problém je naliehavý hospodárstva, ktoré možno len ťažko vyhnúť sa kvantitatívne, pri vysvetľovaní cien, ale zdá sa, spoľahnúť sa na subjektívne “utility”, ktorých meranie je ako pochybné, ako to radosti a bolesti. Adam Smith dosahuje trik, tak užitočné v týchto veciach, o nároku hovoriť kvantitatívne, zatiaľ čo vyhýbanie sa zodpovednosti záväzok akékoľvek skutočné množstvá alebo vzorcov. Píše, že hodnota všetkých bohatstvo jeho majitelia “je práve rovná množstvo práce, ktoré môže umožniť ich k nákupu alebo príkaz . . . Rovnaké množstvo práce musí vo všetkých dobách a miestach mať rovnakú hodnotu robotníka”, ale on undercuts zrejmé presnosť jeho opatrenia pridania:

It is often difficult to ascertain the proportion between two different quantities of labour. The time spent in two different sorts of work will not always alone determine the proportion. The different degrees of hardship endured, and of ingenuity exercised, must likewise be taken into account. There may be more labour in an hour’s hard work than in two hours easy business.115

He appeals to the market to coordinate different people’s measures, but “not by any accurate measure”.

Benjamin Franklin advises, in cases of perplexity about a decision, the listing of the reasons for and against in two columns:

, Keď som tak som ich všetky spolu v jednom Okne, som sa snažia odhadnúť ich príslušných Váh; a kde som nájsť dva, jeden na každej strane, ktoré sa zdajú rovnaké, som strike ich oboch von: Ak som sa nájsť Dôvod, pro rovná niektorých dva Dôvody con, som trhnúť tri . . . a tak konania nájdem na dĺžku, kde na Zostatok leží . . . A tho’ Hmotnosť Dôvodov nie je možné brať s Presnosťou Algebraické Množstvách . . . v skutočnosti som našiel veľkú Výhodu z tohto druhu Rovnice, v tom, čo môže byť nazývané Morálne alebo Obozretného podnikania Algebra.116

Špeciálne problémy merania v sociálnej a duševnej sfére navrhol, aby Condorcet, že sociálne matematiky by sa mali spoliehať predovšetkým na teóriu pravdepodobnosti.117 Tam, rovnosť presvedčenie, jeden by mal mať, že kockou padne na ľubovoľnej strane je odvodená zo symetrie, alebo “nedostatok dôvodov”: nie je dôvod, aby radšej žiadne vedľajšie na akékoľvek iné. On veril, že už ukázal, pomocou pravdepodobnosť, že rozhodnutia, ktoré prijímajú väčšinovým hlasovaním boli perfektné pre dosiahnutie pravdy.118 Skôr ako bol prenasledovaný na smrť režimu, ktorý povýšil Rovnosť viac Slobody a Bratstva, Condorcet mali možnosť prehodnotiť predpoklady jeho dôkaz, a zaujímalo, či snáď nemal na mysli, že tieto hlasovacie mal dosiahnuť niektoré štandardné Dôvodu.119

ako dlho Ako tam bol “sociálny matematiky”, tam boli vysvetlenia, prečo to prestane fungovať, alebo aspoň chýba niečo ako úspech matematiky ako aplikovaná fyzika. Návrh, že nedostatok presné meranie je problém bol očakávaný, a argumentoval proti, ako cituje len vzhľadom naznačiť. Ďalšou myšlienkou bolo, že Reid, ktorý si myslel, že problém ležal v definícii množstve ako “všetko, čo má zvýšiť alebo zmenšovanie”. To je príliš široký, hovorí, ako to umožňuje v radosti a bolesti, ktoré sa priznať stupňov, ale nemôže byť meraná v jednotkách.120

Matematické modelovanie sociálnej, ako protichodný k nahrávka, javy bol pokus kvalitatívne v Hume a Adam Smith je chápanie ekonomiky ako samoregulačné systém,121 ale najúspešnejší kvantitatívne projektu bolo, že Malthusa, ktorého závery o chudobných zákony sú určené sledovať z čisto matematického skutočnosti:

Obyvateľstva, ak zrušíte, zvyšuje v geometrický pomer. Diéty zvyšuje iba v matematických pomer. Mierne zoznámenie s číslami sa shew nesmiernosť prvý energie v porovnaní s druhým.122

On berie tieto pomery byť evidentné, a cíti, nie je potrebné na ich podporu s empirickými dôkazmi. Tento druh priorist montáž vzorcov má mimoriadne postihnutý ekonómie, tak to je zaujímavé vidieť, Condorcet kritizovali Verri je matematická ekonómia len na túto zem. Je pravda, Condorcet hovorí, že viac kupujúcich znamená vyššiu cenu, ale to, čo odôvodnenie je tu pre Verri je predpoklad priame pomere medzi dvoma, ak žiadne empirické údaje sú považované za?123 liek je fit vzorce na aktuálne sociálne štatistické údaje. Nie je to silná bodu, osemnásteho storočia matematiky, ale Lambert mal nejakú predstavu o tom, ako to urobiť.124

5. LOGIKA

a. Učebnice Logiky

Osemnásteho storočia písanie na “logika” je rozsiahly,125 ale ani škola tradičných Aristotelian logika, ani ich súperov, “mužov nápadov”, vyrobené moc, že prikázal, rešpekt, pretože.

Ako systémy myslenia ísť, Aristotelian logiky bol jeden z veľkých prežili. Za niekoľko storočí, to bol napadnutý energicky, v takmer rovnakých podmienok, takmer všetky myslitelia si pamätal histórie. To bolo bránené nonentities. V každej generácii, keď sa prach usadil, zistilo sa, byť stále v ovládacieho poľa (ktoré je, vysokoškolských učebných osnov). Toto bola pravda v roku 1700, len po Locke mal obnovené útoky Slaniny a Descartes. To bola pravda, v roku 1800, keď Aristotelian logika bola o podrobiť oživenie v Británii. Jej obsahom sú tradičné logika pojmov, rozhodnutia a záver, podľa syllogism, do značnej miery nezmenené, pretože logika učebnice z trinásteho storočia.

anglický zástupca zo starej školy bol Henry Aldrich Artis Logicae Kapitolu, štandardné Oxford učebnice pre celé storočia. Prvýkrát vyšla v roku 1691, ktorý sa objavil v mnohých vydaniach, epitomes a rozšírenie až do polovice devätnásteho storočia, vrátane anglický preklad John Wesley.126 Na kontinente, Wolff nájsť tradičné logika uspokojivé; natoľko, že mu v podstate sa snažil, ako sme videli, začleniť zvyšok filozofia do neho. To je trochu prekvapujúce, nájsť Kant vo veľkej miere na strane syllogism. On má nejaké drobné kritika tradičných opatrenia zo štyroch postáv, ktoré si myslí, že viac-vypracovať,127 ale on súhlasí, že syllogism nie je určené pre metóda objavovania, ale o celý jeho logiku výučby súhlasí s tradíciou. On je jasné, o, a na rozdiel od, psychologism v logike.128

b. “Fakultatívne” logika a Hume “psychologism”.

nepriateľské škola pripravila objemné diel “logika”, ale sú plné, čo by sa teraz nazýva kognitívna psychológia, epistemology, semiotics, filozofie, logiky a väčšinu. Aj invective, proti “školskej headpieces”. Nič okrem logiku, v modernom slova zmysle formálnej logiky. Nie je to logika bol zmätený, s (zatiaľ neexistujúci) disciplínami, ako psychológia. Naopak, scholastics bolo jasné, o formálnej logiky, a to bolo v úmyselné opozície im, že stúpenci “spôsob nápady” identifikované logiky s “psychologistic” pojmy miesto.

Bacon, Descartes a Locke, medzi nimi, bol presvedčený, že väčšina syllogism, a formálnej logiky vo všeobecnosti, bola nepoužiteľná alebo záujmu.129 podstatu Locke útoku bolo, že syllogism nebolo užitočné pre discovery pravdy, a že to zatajil skutočnosť, že záver spočívala v “súhlas alebo nesúhlas” alebo “connexion” myšlienok.130 Tradičnej logiky mal určite otvorili cestu ako kritiku holding, že logika je o “myslenia” alebo “súd”, a tým, že sa sústredí na jeden argument forme, syllogism, čo má vzduchu, že analytické a triviálne. Bez ohľadu na dvor Lockean kritiky, sa im nepodarilo vydať v niečo lepšie, a to buď v new logické myšlienky alebo v učebniciach. Ak dodržiavanie syllogism obmedzuje logiky, “súhlasu a nesúhlasu nápadov” je, či sa niečo ešte horšie straightjacket. To nemení nič na podporu objav logickú štruktúru, a namiesto presmerovania logiky do vapidity. Je to všetko veľmi dobre ponúknuť radu ako, “Zväčšiť váš všeobecné Zoznámenie sa s Vecami denne, s cieľom dosiahnuť bohatú Nábytok Tém alebo strednej Podmienok . . .”131, ale ako si preveriť, že? Na logiky z Crousaz, Duncan a W nasledoval Port-Royal Logika v vrátane dostatok tradičnej klasifikácie, vyznamenania a tak na poskytnutie obsahu, a jednoducho pridanie kritické pripomienky v štýle Slaniny a Descartes.132 Na konci storočia však Reid a Campbell vrátiť na čisto negatívny prístup, prejav, ako keby práve zistil, že syllogism nie je logiky, objav.133 Ale ani oni, ani ich školy majú nahradenie ponúknuť. Campbell podnikov názor, že matematických demonštrácií nie sú syllogisms, ale nenaznačuje to, čo ich forma je, ak nie syllogistic. Reid je bližšie k pravde v holding, že matematická úvaha nemôže byť spravidla syllogistic, ako zaoberá vzťahov množstve, a syllogism sa nevzťahuje na vzťahy.

Hume trvá na svojej extrémnej “psychologising” logiky, a tak väčšina exponátov dramaticky problémy v tom. Jasne, tam sú napätia s “naturalising” logika znížením to na manipulácie mysle sa stane, ak chcete vykonať na myšlienky, pričom sa opiera o logiku, ako normatív pre argument. Hume sa uplatňuje všeobecné zásady, ako sú”, ako aj predmety, pľac by v podobných okolností, bude vždy produkujú rovnaké účinky”, na konkrétnych prípadoch, bez zrejme si všimol, že on je pomocou formálnych logických princíp procesmi.. Rovnako by sa dalo povedať jeho použitie “nie”.134 Hume zhoršuje tieto ťažkosti pridaním skeptický projekt na jeho naturalising projektu. Čo je skeptický je logické platnosti spoločné závery: príčinné závery, vyvodenie záverov z “je” k “by mali”, a tak ďalej.135 To je divné, samozrejme, povedať, že príčinné záver, nie je logicky presvedčivé, ale len nevyhnutný zvyk, súčasne tvrdí, že všetky logický záver je len nevyhnutnou zvyk.

Hume je výhľad na inference sú vnímané ako lepšie využiť, ak sú myslel, že nie je z hľadiska formálnej logiky, alebo dokonca väčšinu, ale ako výskumný návrh na implementáciu do, povedzme, kremíkové čipy. Moderné Umelé Inteligencie, ako väčšina osemnásteho storočia písanie, sa zaoberá implementácie systém záver, nie len formálnu štruktúru samotný systém. Z tohto pohľadu je potrebné odpovedať na otázky, ktoré nevyplývajú vo formálnej logiky, ako napríklad symboly sú pripútaní k veci znamenajú. Jeden musí zvážiť, v skratke “natural history chápania”. Potom je vec na diskusiu, či syllogism musí byť explicitne zastúpený vnútorne, a či sa dá nahradiť explicitné všeobecnosti so príklady sú spojené “custom”, tak, že keď sa jedinec je aktivovaný, prepojené tie “okamžite davu v na nás”.136 prepojenia medzi príklady sú vyvolané podobnosť, neustálom spojení a ako vzťahy, ktoré držia medzi nimi. Hume pohľadávka z jeho pravidlá o spôsobuje, že “Tu je všetko, logiky myslím, že správne, že sa používajú v mojej argumentácii”137 je potom tvrdenie, že môže byť skúmaná empiricky: bude mechanizmus vybavený iba princípy asociácie Hume mená môcť dôvodu primerane?

Logic mieste v centre osnov robí určité širšie účinky osemnásteho storočia logika zaujímavejšie ako predmet sám. Jeden študent z logiky, ktorí sa na prírodné bakalárske reakcia proti predmet extrémnej bol Swift, ktorého negatív zásob logické príklady, “Človek je racionálne zvierat; kôň je whinnying zvierat” viedlo k satira z Yahoos a Houyhnhnms.138 Iný, kto používa jeho rétorika s dobrým výsledkom bol Thomas Jefferson.139 nároku Na Vyhlásenie Nezávislosti, “Máme tieto pravdy byť samozrejmosťou, že všetci ľudia sú si rovní . . . ” kombinuje logické tému self-dôkazoch matematických jeden z vyplývajúce takéto samostatne dôkaz princíp symetrie. Pravda, logician budú pýtať, prečo, ak princíp je naozaj evidentné, že je potrebné “hold” to bolo tak. Francúzi boli jasnejšie, že Rovnosť nie je daný, ale gól.

discrediting logiky v Anglicku mali dôsledky v oblasti vzdelávania, ktoré sú stále cítil. Kým tradícia-viazané, Vysoká Cirkvi Oxford nevšímal problém, a naďalej učiť logiku, v latinskej z Aldrich text, a overovať ich disputation,140 Whig Cambridge urobila opak. To nahradilo logika, ktorú len dôveryhodná alternatíva, matematika, a vyrába predka modernej písomná skúška systému, Matematicko Tripos. Tým, šťastný spätnú väzbu účinok, matematika povolené stále jemnejšie cieľ triedenie uchádzačov, čo vedie k stále viac koncentrácia na matematiky. Od matematiky bola náhrada logika, však záležitosť preskúmala bola obmedzená najmä geometrie, continental inováciami, ako algebra považuje za unpatriotic.141 Geometria je tiež viac prístupní k uvažuje v pojmoch “nápady” ako formálne manipulácie algebry.142

c. Symbolická logika a logické diagramy.

Leibniz je vízia povahových, čo umožňuje logické vyvodiť výpočtom, inšpiroval niektoré, ale bez veľkého významu vyplývajúce. Logické symbolika Segner, Ploucquet, Holandsko, Maimon a Castillon nepotrebuje veľa reinterpretácie priniesť rôzne teorema v propositional a predikát kalkul, ale len tie najjednoduchšie.143

Euler vyvinutý tradičné teórie syllogism v populárnej práci, na ilustráciu to s diagramy podobné neskôr Venn diagramy. Konkrétne (existenciálne) propozície boli vždy problémy, ktoré predstavujú pre takéto diagramy, ako tam musí byť nejaký spôsob, ako sa uvádza, ktoré regiónov sú neprázdne. Euler rozlišuje medzi “Niektoré je B” a “Niektoré A nie je B” takto: 144
Ak človek verí, že je to dobrá vec pre logiku, aby sa stal extensionalist, potom logické diagramy sa zobrazia jedna storočia je niekoľko preddavky v logike. Euler seba-to neznamená, že majú prijať tento spôsob. On používa iba intensional slovnú zásobu, napríklad “Ak pojmu C je úplne obsiahnuté v pojme . . .” Berie č oznámenia vôbec dvoch storočiach kritika syllogism, a ide tak ďaleko, že tvrdia, že všetky pravdy vzniká z neho.

podobný nápad, ale pomocou čiar namiesto kruhov, sa objaví v Lambert.145 Ale to je len malá časť z väčšieho projektu pre mathematising logiky. Navrhuje dať nejaké presné analýzy pojmov do jednoduchých nápadov, tak robia pre kvalitu, čo geometers urobil pre množstvo a posudzovať všetko od pevný základ.146 aspekt projektu bola symbolická logika pojmov; jeden analyzuje pojem do jeho rodu Ay a differentia rovnice

ay = – aδ

potom znamená, že rodu je výsledkom odber v differentia z . Lambert je niekedy omylu tým, falošné analógie k riadnym algebry, v rozsahu vzhľadom na odmocninu z vzťahu.147 V jeden pokus, aby logiky a matematiky spoločne, sa považuje za platný argument:
3/4 B, 2/3 sú C,
takže niektorí B sú C.148

Niekoľkých logicians sa už staral nasledovať ho na takéto numerické území.

6. TECHNOLÓGIE

nadpis Encyclopédie Dictionnaire raisonné des sciences, des arts, et des metiers. Sa dôraz kladie na “umenie a obchody” je vzhľadom na Diderot, ktorý píše:

Dajte nejaký muž ísť von z akadémie a dole do dielne, a zhromažďovať materiál na umenie, vysvetliť im v práci, ktorá bude presvedčiť remeselníkov čítať, filozofov myslieť dobre, a veľký, aby sa v poslednom niektoré oplatí používať ich autorita a bohatstvo.149

“Užitočná veda”, ako nápad, je Baconian, ale veda ako akceptovanú trasy na zisku, vojenskú prevahu a pokrok je naozaj osemnásteho storočia rozvoja. Zatiaľ čo francúzska vláda a Kráľovského Námorníctva boli medzi najväčších investorov do výskumu, praktickej orientácie výskumu bol obzvlášť viditeľný v periférnych regiónoch, kde abstraktného myslenia, vrátane filozofie, prežil na všetko, len na sľub, jeho praktickosť. Bezhraničnej dôvery v užitočnosti vedy bol charakteristický pre Ameriku z Franklin a Jefferson150 ako to bolo v Rusku, kde Euler a Lomonosov pracoval assiduously na “vylepšenia”. V Anglicku, Priemyselná Revolúcia bola spojená s menej Londýna, než s provinčných mestách, ktoré boli domy “Filozofických Spoločností” venované praktická veda.151

Diderot našiel významný fakt o praktické znalosti: mohlo by to byť napísané primerane v texte. Žiadajú lekári vyrobené len skomolené hmotnosť unintelligibilities a nezrovnalosti. To sa ukázalo nevyhnutné požiadať živnostníkov na zobraziť, čo robia, a prezentovať výsledok v obrazoch. Teda Encyclopédie má jedenásť zväzkov dosky (v porovnaní s sedemnásť textu).152 Keď tam neboli žiadne veľké encyclopedic projektov v Anglicku, svoje miesto, bol do istej miery prijatých orgánmi verejnej prednášky v oblasti vedy, obzvlášť užitočné vedy. Slávny Londýne prednášky Desaguliers učil tým, že ukazuje, pracovných strojov. Veda sa tak stalo prístupné pre tých, ktorým chýbajú matematiky; Newtonovskej filozofie, Desaguliers hovorí, “tho’ jeho pravda je podporovaný Mathematicks, ale jeho Fyzické Diskurzy môžu byť zaslané bez. Veľký Pán Locke bol prvý, ktorý sa stal Newtonovskej Filozof bez pomoci Geometrie . . .”153 Vynálezy ako parný motor, bleskozvod a balóny boli určite veľkolepé, a schopný odovzdanie správy bez potrebné pre podporu titulky.

Ale, čo správu? Vzťah stroje na abstraktná myšlienka bola vexed jeden. Vzorec pre gravity nie je moc použiť, zatiaľ čo textilné a parné motory boli väčšinou vynašiel praktické inžinierov, nie vedci. Stále, sú vynálezy “úsilie mysle a porozumenie, ktoré sú vypočítané na výrobu nových vecí z rôznych aplikácií z istého dôvodu, a nekonečné zmeny producible rôzne kombinácie a podiely”,154, ktorý je, intelektuálne produkty. Adam Smith, ktorý si uvedomuje dôležitosť stroj vynálezy v zlepšovaní produktivity (aj keď on má tendenciu podriadiť jeho idée fixe rozdelenia práce), hovorí o “filozofi alebo mužov špekulácií, ktorých obchodu nie je na nič, ale pozorovať všetko; a kto, na ktorý účet, sú často schopné kombinovať právomoci najviac vzdialených a odlišné objekty”.155 popis je presne pravda, James Watt, matematický nástroj maker na University of Glasgow, ktorí analyzovali tepelné straty v Newcomen to parný stroj, a uvedomil si, že kondenzácii bol samostatný proces, ktorý by mohol byť lepšie nachádza niekde inde.156 zručnosti, ktoré sú zapojené kognitívne, ale oni nie sú tak formálne geometrie Euklida ako draughtsmanship alebo design engineer — Diderot “zážitkové a manipulatívne matematiky”, alebo “praktickej geometrie”, ktorá Swift je Laputans “pohŕdať ako vulgárny a mechanik”. A to bolo osemnásteho storočia je preddavky v liatiny a ocele, takže to znamenalo, že akýkoľvek tvar by mohol byť vykonané, lacno a dlhodobo. Dostupnosť ľubovoľné pevné tvary, lacné, dlho-trvajúce a spoľahlivo odoláva vysokým tlakom, stimulovať predstavivosť, aby módy zložité tvary, z interagujúcich častí. Železná stroje sú konkrétne realisations, tak povediac, niekoľkých filozofické projekty naraz: Slanina je užitočné, vedy, Kant stavieb, Vico “tvorca vedomostí” a Descartes’ sen vysvetľovanie sveta ako dôsledok interakcie tuhých telies.

Tam bol nesúhlas s myšlienkou beneficence “užitočné” vedy. Swift je satira napadol vedeckého výskumu, ako je buď rozvedený od reality, alebo produktívne vynálezov, ktoré však v skutočnosti pracovať.157 Ale vo všeobecnosti, technológia mal pozitívne vyžarovanie, ako je matematika, dostatočné pokúšať filozofov väčšina persuasions nárok na to, ako je na ich strane. Derham Fyzikálno-teológia, napríklad, videl preddavky na mechanické vynálezy ako dôkaz Božej prozreteľnosti.158 L ‘ homme stroj môže pripadať predstavu, samozrejme ateista dôsledku v Paríži, ale Paley vedel veľa viac o stroje, ktoré La Mettrie, a presvedčil najviac, aspoň v krátkodobom horizonte, že teleological aspekt stroje podporila theist výklad človek-stroj primerane. “Hodinky, teleskopy, osadenie-mlyny, parné motory, &c.” nie sú to druh vecí, ktoré môžu vzniknúť náhodou — ani šancu nasleduje výber.159

dôsledky pre politickú filozofiu Diderot pochvalu remeselníkov, sú všeobecne ľavej implicitné v Encyclopédie, ale Hume je esej Zdokonaľovanie sa v Umení dodávky priepasti:

, ktorým sa nedokážeme rozumne očakávať, že časť vlnená handričkou bude vykonané k dokonalosti v národe, ktorý je ignorant, astronómie, alebo ak etiky sú zanedbané . . . Môžeme očakávať, že vláda bude dobre modelovaná na základe ľudí, ktorí vedia, nie ako urobiť kolovrátok, alebo zamestnať loom na výhodu? . . . pokrok v umení je pomerne priaznivý pre slobodu, má prirodzenú tendenciu zachovať, ak nie je produkovať zadarmo vlády.160

Myšlienka, že stroje vytvoriť pokrok samostatne zostal atraktívny jeden pre Osvietený. Občan Gateau, správca vojenskej ustanovenia, píše o stroj, ktorý má prísť väčšina spojené s Liberty:

Svätý Gilotína je najviac nádherne aktívny, a dobrotivé teroru dosahuje v našom strede, akoby zo zázrak, čo storočie alebo viac filozofie a dôvod, prečo by nie, dúfam, že na výrobu.161